문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 에탈 코호몰로지 (문단 편집) == 정의 == [math( X,Y)]가 [[스킴(대수기하학)|스킴]]이라고 하자. 그렇다면 [math(f:Y\to X)]가 flat morphism이라는 것은 모든 [math(y\in Y)]에 대해서 [math(\mathcal{O}_{Y,y})]가 flat [math(\mathcal{O}_{X,f(y)})]-module이라는 것이다. 이것을 어떻게 이해하면 좋을까?? flat이란 대충 말해서 "모든 부분이 부드럽게 같음"을 의미한다. 예를 들면 생각할 부분이 딱 한 점밖에 없는 field에 대해선 모든 field extension [math(L/K)]에 대해서 :[math(\mathrm{Spec}\,L\to \mathrm{Spec}\,K)] 는 flat morphism이고, 조금 더 기하학적으로 [math(k)]가 field일 때 :[math(\mathrm{Spec}\,k[x,y,t]/(xy-t)\to \mathrm{Spec}\,k[t])] 역시 flat morphism이다. 오른쪽은 그냥 직선, 왼쪽은 반비례곡선들의 family를 뜻하는데, [math(t=0)]에서도 반비례곡선이 두 개의 직선으로 나누어질언정 fibre의 차원은 1로 바뀌지 않는다. 이는 중요한 의미를 가지는데, 바로 Grothendieck topology를 생각할 때 우리가 직관적으로 생각할 수 있는 가장 loose한 topology를 만들 수 있기 때문이다. [math(f:Y\to X)]가 faithfully flat이라는 것은 f 가 flat morphism 이고 surjective 라는 것이다. 모든 flat local homomorphism 은 faithfully flat 이므로 이는 [math(y\in Y)]에 대해서 [math(\mathcal{O}_{Y,y})]가 faithfully flat [math(\mathcal{O}_{X,f(y)})]-module이라는 것을 의미한다. 이를 생각하면 다음을 정의할 수 있는데, [math(f:_{\alpha}:U_{\alpha}\to X)]라는 family of morphism of schemes를 생각하자. 그렇다면 이것이 fpqc covering이라는 것은 :[math(\bigcup_{\alpha}f_{\alpha}(U_{\alpha})=X)] as topological space고 각각의 [math(f_{\alpha})]가 faithfully flat이고 quasi-compact라는 것이다. 그리고 이것으로 만들어지는 topology를 fpqc topology라고 하자. 다음 정리를 보자. :[math(f:A\to B)]가 두 ring 사이의 faithfully flat morphism일 때 {{{#!wiki style="text-align:center" [math(0 \rightarrow A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{1 \otimes b - b \otimes 1} B\otimes_AB \xrightarrow{1\otimes b \otimes b'-b \otimes 1 \otimes b' + b \otimes b' \otimes 1}B\otimes_AB\otimes_AB \longrightarrow \cdots)] }}} 는 exact sequence가 된다. 이것의 증명은 그냥 아무데나 찾아보면 있으므로 잘 찾아보길 바란다... 이것은 simplicial argue로 생각한다면 훨씬 더 직관적으로 와닿을 것이다. 이제 어떤 site [math(X_{\tau})]가 있을 때 여기 위에 sheaf를 다음과 같이 정의하자. 그 site의 covering들로 만들어지는 category를 [math(\mathcal{C})]라고 하자. 그렇다면 functor [math(\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\longrightarrow \mathrm{Ab})]가 sheaf란 것은 그 site의 모든 covering [math(U_{\alpha}\to X)]에 대해서 {{{#!wiki style="text-align:center" [math(\displaystyle 0 \rightarrow \mathscr{F}(X) \longrightarrow \prod_\alpha \mathscr{F}(U_\alpha) \longrightarrow \prod_{\alpha,~ \beta} \mathscr{F}(U_\alpha \times _XU_\beta))] }}} 가 exact. 여기에서 첫번째는 [math(s\mapsto \left(s|_{U_{\alpha}}\right)_{\alpha})]고, 두번째는 [math((s_{\alpha}|_{U_{\alpha}})_{\alpha}\mapsto \left(s|_{U_{\alpha}\times_{X}U_{\beta}}-s_{\beta}|_{U_{\alpha}\times_{X}U_{\beta}}\right)_{\alpha,\beta})]다. 이렇게 정의한다면 자동으로 cohomology도 정의할 수 있게 된다. 어차피 저 covering들은 모두 하나하나가 scheme이니까 그 site에 대한 topos를 [math( \mathrm{Sh}(X_{\tau}))]라고 하면 ([math(\tau)]는 site라고 하자.) 이는 abelian category가 되고, enough injective다. 어쨌든 big Zariski topos의 full subcategory니까. 따라서 global section functor의 derived functor를 생각할 수 있고, 비슷하게 Cech cohomology도 정의할 수 있다. 이 때, 위의 정리와 derived functor-Cech spectral sequence로 다음을 알 수 있다. (또는 개인적인 생각이지만 Hartshorne의 3.4단원의 main theorem 증명이랑 똑같이 해도 될 것 같다.) Zariski topology보단 finer하고 fppf topology보단 coarser한 site [math(X_{\tau})]에 대해서 :[math(H^i_{Zar}(X,\mathscr{F})=H^i_{\tau}(X,\mathscr{F}))] 다. 여기에서 [math(\mathscr{F})]는 X 위에서 quasi-coherent sheaf다. 이것의 증명의 개요는 먼저 first cohomology에 대해서 증명한 다음에 spectral sequence로 cohomology의 degree를 늘리는 수학적 귀납법을 쓰면 된다. 여기에서 quasi-coherent sheaf는 functor of points로 자연스럽게 [math(\mathrm{Sch}^{\mathrm{op}}_{X}\longrightarrow \mathrm{Ab})]로 extend할 수 있고, fpqc topology에서 sheaf가 된다는 정리가 있다. (증명은 cohomology의 같음을 증명할 때와 비슷하다.) 아, fppf란 저저기 fpqc topology의 정의에서 faithfully flat and quasi-compact를 quasi-finite,flat and of finite presentation으로 조건을 바꾸면 된다. 이는 직관적으로 기하학적으로 잘 맞게 U가 X 위의 그냥 finite field extension이란 직관을 가지고 있다. 이렇게 바꾸는 이유는, fpqc는 너무 커서 sheafification이 없을 수도 있기 때문에. fpqc topology란 "기하학으로써 당연히 가져야 하는 소양"에 가깝다. 기하학이라면 당연히 잘 붙어야 하며, 교집합이 잘 되어야 하고, 어쨌든 우리가 잘 아는 여러가지 set-theoric한 것들이 잘 되어야 할 것이다. fpqc란 바로 그런 조건을 말한다. 이제 unramified morphism을 설명하자, 두 local ring 사이 morphism [math(f:A\to B)]에 대해서 이것이 unramified란 것은 maximal ideal을 maximal ideal로 옮기고, 이걸로 induce되는 [math(A/\mathfrak{m}_{A}\to B/\mathfrak{m}_B)] 가 finite separable extension이라는 것이다. scheme으로 옮겨서 [math(f:Y\to X)]가 unramified라는 것은 각각에 대한 local ring들의 morphism이 모두 unramified라는 것이다. 이것에 대해선 유용한 criterion이 있는데, 바로 relative differential인 [math(\Omega^1_{Y/X})]가 0이라는 것이다!! 이것은 프렐라이에도 있는 characteristic 0일 때 모든 field extension이 separable이라는 것의 증명을 그대로 따라한다. 그리고 이것으로 [math(f:Y\to X)]가 unramified라는 것은 다음과 같은 diagonal [math(Y\to Y\times_{X}Y)] 가 open immersion이라는 것하고 동치임도 쉽게 알 수 있다. unramified morphism은 보면 알겠지만, "separable extension"을 뜻한다. 바로 Galois extension에서 필요한 그것이다!! normal extension도 있어야 할 것 같지만, 우리에겐 이것만 필요하다. 왜냐하면 separably closed field를 생각하듯 생각할 거니까 이제 [math(f:Y\to X)]가 etale이란 것을 flat이고 unramified인 걸로 정의하자. 그리고 [math(f_{\alpha}:U_{\alpha}\to X)]가 etale covering이란 것은 각각 합집합이 X고 각각이 모두 etale일 때를 뜻한다. 그렇다면 우린 etale cohomology를 정의할 수 있다. 한 가지 etale cohomology의 예를 들어보자. [math(\mathrm{Spec}\,A\to \mathrm{Spec}\,K)]가 etale morphism일 때, A는 finite separable extension of K의 finite direct product여야 한다. 이를 생각하면 [math( \mathrm{Spec}\,K)] 위의 sheaf는 K 위의 vector space고 etale이란 말이 붙으면 여기에다가 Galois action이 더 있어야 하니 Galois cohomology의 정의를 그대로 따라하면 [math(H^i_{et}(\mathrm{Spec}\,K,V)=H^i(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K),V))] 가 된다. 또 한 가지 예를 들면, fpqc topology 할 때 얻은 걸로 바로 [math(H^1_{et}(X,\mathcal{O}_X)=H^1_{Zar}(X,\mathcal{O}_X)=\mathrm{Pic}(X))] 를 얻을 수 있다. 이를 Hilbert theorem 90이라고 한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기